梯度下降算法（gradient desent)

以直线模型y=x*w为例

数据集如下：

x	y
1	2
2	4
3	6

c o s t ( w ) = ( 1 N ) ∑ n = 1 N ( y ^ − y ) 2 cost(w) = \left(\frac{1}{N}\right)\sum_{n=1}^N(\hat y-y)^2 cost(w)=(N1​)∑n=1N​(y^​−y)2

梯度的方向一定是函数值上升的方向，最小值是0
梯度下降公式： w = w − α ∂ c o s t ∂ w w = w – α\frac{\partial cost}{\partial w} w=w−α∂w∂cost​（α为学习率）

∂ c o s t ∂ w \frac{\partial cost}{\partial w} ∂w∂cost​= 1 N ∂ ∂ w ∑ n = 1 N ( x n ∗ w − y n ) 2 \frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial w}\sum_{n=1}^N(x_n*w-y_n)^2 N1​∂w∂​∑n=1N​(xn​∗w−yn​)2

= 1 N ∑ n = 1 N 2 x n ( x n ∗ w − y n ) \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N2x_n(x_n*w-y_n) N1​∑n=1N​2xn​(xn​∗w−yn​)

python代码：

x_data = [1.0,2.0,3.0]
y_data = [2.0,4.0,6.0]
w = 1.0

def forward(x):
    return x*w

def cost(xs,ys):
    cost = 0
    for x,y in zip(xs,ys):
        y_pred = forward(x)
        cost +=(y_pred-y) ** 2
    return cost/len(xs)
def gradient(xs,ys):
    grad = 0
    for x,y in zip(xs,ys):
        grad+=2*x*(x*w-y)
    return grad/len(xs)

print('Predict (before training)',4,forward(4))
for epoch in range(100):
    cost_val = cost(x_data,y_data)
    grad_val = gradient(x_data,y_data)
    w-=0.01*grad_val
    print('Epoch:',epoch,'w=',w,'loss=',cost_val)
print('Predict (after training)',4,forward(4))

若曲线波动比较大，可以用指数加权均值平滑

C 0 ∗ = C 0 C^*_0 = C_0 C0∗​=C0​

C i ∗ = α C i + ( 1 − α ) C ( ∗ i − 1 ) C^*_i = αC_i+(1-α)C^*_(i-1) Ci∗​=αCi​+(1−α)C(∗​i−1)

随机梯度下降（Stochastic gradient descent）

梯度下降公式： w = w − α ∂ l o s s ∂ w w = w – α\frac{\partial loss}{\partial w} w=w−α∂w∂loss​

∂ l o s s ∂ w \frac{\partial loss}{\partial w} ∂w∂loss​= 2 x n ( x n ∗ w − y n ) 2x_n(x_n*w-y_n) 2xn​(xn​∗w−yn​)

注意这里是对每一个样本求梯度，而梯度下降是对全部样本求梯度，这里就有一个很明显的问题，对于梯度下降在计算f(x)的梯度和计算f(x+1)的梯度是可以并行计算的，然而在随机梯度下降中显然是不行的，因为其计算每一个样本的梯度然后更新w，这个w又用于f(x+1)的计算，所以从时间复杂度上来看随机梯度下降差，但是性能上随机梯度下降好一些。

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